Amikor a matek szemináriumon a hallgatók foglalják össze az előadáson elhangzottakat...

A BKF-en, ahogy több más hasonló főiskolán, a Gazdasági matematika oktatás minden héten egy előadásból és egy gyakorlati foglalkozásból áll.
Mivel az előadás látogatása nem kötelező, így sokan úgy érkeznek a gyakorlatra, hogy semmilyen előismerettel nem rendelkeznek a heti tananyagot illetően, amire nagyon nehéz a gyakorlatok anyagát felfűzni. Ebben a félévben ezen kívántam változtatni, így a gyakorlatokat igyekszem úgy felépíteni, hogy lássák mennyire fontos az előadások követése. Az előadás látogatását nagyon ajánlom nekik, de aki nem megy el, azoktól is elvárom, hogy a feltöltött előadás anyagot átnézzék és elhozzák magukkal az órára.
A korábbi évekkel ellentétben nem foglalom össze, hogy mi volt az előadáson, hanem egyből önálló feladatmegoldást kapnak, amit a jegyzeteik segítségével maguknak kell megoldani. Ez legtöbbször csoportos formában történik (2-3 fő), ezáltal sokkal aktívabbá válnak.

Ma Eseményalgebra volt a téma, amit bevallom nem igazán kedvelek. Kicsit száraznak, unalmasnak, egysíkúnak tartok, de nem hagyható ki, hiszen az alapfogalmak, jelölésrendszerek mind itt kerülnek tisztázásra, és a félév során végig erre építünk. Fontosnak tartom, hogy ezt jól tudják, mert csak így tudjuk az elkövetkező órákon a "közös nyelv"-et biztosítani.
Ma kipróbáltam egy új módszert ehhez a részhez, amit lehet, hogy még más témaköröknél is alkalmazni fogok, mert örömmel mondhatom, hogy bevált! :)
Kis kártyákat készítettem, amiken az előadáson elhangzott egy-egy fogalom szerepelt, és ebből húzott minden csapat (2-3 fő) egyet-egyet. Feladatuk az volt, hogy az előadás jegyzeteik, mobiltelefonjuk, képlettáruk, társuk stb. segítségével értelmezzék a fogalmakat, írjanak példákat, amit utána bemutatnak, elmagyaráznak. A felkészülési idő alatt körbejártam, ahol kérdésük volt segítettem. Az alábbi fotó a mai gyakorlaton készült. Volt aki a kinyomtatott előadás vázlatát használta, volt aki a telefonját, táblagépét. Bármilyen segédeszköz használható volt, a lényeg, hogy maguk keressék ki a szükséges ismereteket, és gondolják át alaposan, beszéljék meg a társukkal.

Jó hangulatú volt az óra, mindenki bekapcsolódott, és örömmel láttam, hogy nagyon ügyesen tudják használni a segédanyagokat (lásd előadás vázlat)! :) Ehhez csak annyi kell, hogy célirányosan ilyen feladatot kapjanak! Biztos vagyok benne, hogy nem utoljára kerültek elő a fogalom kártyák.

Még egy adat: A felkészülési időm a mai órára, az ötlet megszületését is beleszámítva 30 perc volt. Ez az idő a kártyák legépelését és kinyomtatását jelentette. Blogbejegyzés megírása 20 perc.

Az alábbiakban részletesebben leírom az alkalmazott módszertant, illetve megosztom magukat a kártyákat is. Szívesen veszek bármilyen visszajelzést.

Jó matekórákat mindenkinek! :)

Eseményalgebra – kártyák

Munkaforma: csoportos/páros munkavégzés (2-3 fős csoportokban)

Cél: az adott hét előadás anyagának átbeszélése, összefoglalása tevékeny formában az óra elején

Feladat: minden csoport véletlenszerűen húz egy kártyát. Feladatuk hogy elmagyarázzák a rajta lévő fogalmat, illetve megválaszolják a kártyán lévő kiegészítő kérdéseket. 

Munkaidő: 5-10 perc  

Bemutatás, közös megbeszélés: 15-20 perc

A bemutatás/megbeszélés a kártyán szereplő sorszám alapján történik. Mondhatják a helyükről, és tanár ír a táblára; kijöhetnek és felírhatják ők maguk a táblára (erre több időt kell számolni); illetve kioszthatunk minden csapatnak az elején egy A4-es lapot + filcet és ezeket a lapokat mágnessel feltehetjük a táblára, ekkor kicsit könnyebb és gyorsabb az átbeszélés. (Én az első verziót alkalmaztam most.)

Kártyák:

1.	Véletlen kísérlet (A kockadobás tekinthető-e véletlen kísérletnek, ha igen miért?)
2.	Eseménytér (Ha a kísérlet az, hogy két kockával dobunk, hogyan néz ki az eseménytér? Hány elemű? Hogyan jelöljük?)
3.	Esemény (Ha a kísérlet az, hogy egy kockával dobunk, milyen eseményeket fogalmazhatunk meg ehhez a kísérlethez kapcsolódóan? Fogalmazz meg 3 különböző eseményt! Hogyan jelöljük?)
4.	Elemi esemény (Ha a kísérlet az, hogy három kockával dobunk, mit tekintünk elemi eseménynek? Hány elemi esemény van ennél a kísérletnél?)
5.	Lehetetlen esemény Legyen a kísérlet az, hogy egy kockával dobunk. Ekkor mit tekintünk lehetetlen eseménynek? Mondj egy példát rá! Hogyan jelöljük? Biztos esemény Legyen a kísérlet az, hogy egy kockával dobunk. Ekkor mit tekintünk biztos eseménynek? Mondj egy példát rá! Hogyan jelöljük?
6.	Ellentétes esemény Mit tekintünk lehetetlen eseménynek? Hogyan jelöljük? Írj egy példát rá: legyen a kísérlet, hogy egy kockával dobunk; fogalmazz meg egy eseményt, illetve ad meg ennek az eseménynek az ellentétes eseményét! Szemléltesd Venn diagramon!
7.	A és B esemény összege Mit tekintünk összeg eseménynek? Hogyan jelöljük? Írj egy példát rá: legyen a kísérlet, hogy egy kockával dobunk; fogalmazz meg két eseményt, és ad meg a két esemény összegét! Szemléltesd Venn diagramon!
8.	A és B esemény szorzata Mit tekintünk szorzat eseménynek? Hogyan jelöljük? Írj egy példát rá: legyen a kísérlet, hogy egy kockával dobunk; fogalmazz meg két eseményt, és ad meg a két esemény szorzatát! Szemléltesd Venn diagramon!
9.	A és B esemény különbsége Mit tekintünk különbség eseménynek? Hogyan jelöljük? Írj egy példát rá: legyen a kísérlet, hogy egy kockával dobunk; fogalmazz meg két eseményt, és ad meg a két esemény különbségét! Szemléltesd Venn diagramon! Hogyan lehet felírni ugyanezt, ha nem a különbség jelet használjuk?
10.	Egymást kizáró események Mit értünk egymást kizáró esemény alatt? Hogyan jelöljük? Írj egy példát rá: legyen a kísérlet, hogy egy kockával dobunk; fogalmazz meg két egymást kizáró eseményt! Szemléltesd Venn diagramon!
11.	Műveleti tulajdonságok Írj fel 6 különböző műveleti tulajdonságot, ebből magyarázz meg 3-at!
12.	De-Morgan formulák Mutasd be a De-Morgan formulákat! Az egyiket bizonyítsd be Venn diagram segítségével! Írd fel mindkét formulát 3 eseményre vonatkoztatva!

Kaposváriak ismét konferenciát szerveznek...

Élményközpontú megközelítés és vizualitás a matematika és a természettudományok oktatásában címmel rendezik az immár hagyománnyá váló évindító konferenciájukat a kaposvári egyetem oktatói.
Időpont, helyszín: 2012. augusztus 28., Kaposvári Egyetem

Konferencia honlapja: http://crossborder.experienceworkshop.hu/?page_id=796

Élményműhely Kaposváron

MÁSODIK NEMZETKÖZI KREATÍV ISKOLANAP A KAPOSVÁRI EGYETEMEN

2010. november 24.

Nagyon jó kezdeményezésnek tartom. Remélem, hogy sokak hitének, tudásának, lelkesedésének, színességének sikerül majd áttörni azokat a határokat, amik a matematikán belül és körülötte is az idők folyamán természetes vagy mesterségen módon kőfalakká váltak.
Látogassátok meg a rendezvényt, ha valóságban nincs rá mód, virtuálisan itt www.elmenymuhely.hu

A Möbius-szalagról az jutott eszembe, hogy olyan körnek is tekinthető, ahol nem tudunk körön belül és körön kívül lenni. Tehát köszöntjük Pétert, mint közgazdászt abban a körben, ahol nincs bent és kint, a felületnek csak egy oldala van. Stílusosan: "Kinn is vagyunk, benn is vagyunk, jaj de nagyon boldog vagyunk"!

A véletlen

Baráti társaságban többször beszélgettünk a véletlenről. Mindegyikünk tudott saját magával történt eseményekről, amelyekben a véletlen kiemelt és időnként megmagyarázhatatlan szere-pet játszott. A társaság egyik része szerint „nincsenek véletlenek”, azok mögött valamiféle sorsszerűség, vagy mondhatjuk elrendeltség figyelhető meg. A többiek is úgy vélekedtek: „nincsenek véletlenek”, csak éppen az rejlik a dolgok mögött, hogy mindennek van valamek-kora valószínűsége, ezért következhetnek be a véletlennek tekintett dolgok, amelyeket hajla-mosak az emberek felnagyítani, túldimenzionálni.

Ebben az írásban egyrészt nem kívánok igazságot szolgáltatni a véletlen kérdésében, másrészt csak gondolatébresztőnek kiragadok néhány elgondolást a fogalommal kapcsolatban. Nem törekszem sem teljes körűségre, sem tudományos munka megírására. Ennek ellenére számos tudomány kategória-rendszeréből merítve próbáltam a kérdés megválaszolásához eljutni.

Ha a véletlent szeretnék definiálni, nincs könnyű dolgunk.

Hétköznapi értelemben a véletlen szót gyakran az „akaratlan(ul)” vagy a „nem szándékos” szavak szinonimájaként is használjuk. Például: „Elnézést uram, véletlenül löktem meg!” Ebben az esetben inkább figyelmetlenségről, gondatlanságról, nem szándékosságról kellene be-szélnünk.

Ezzel valójában a jogtudományba kerültünk át. A (büntető)jog ugyanis nem ismeri a véletlen fogalmát. Azaz nem lehet például véletlenül balesetet okozni. A büntetőjog hanyag gondat-lanság (negligentia) fogalmát használja akkor, amikor az elkövető nem látja előre magatartá-sának lehetséges következményeit, mert elmulasztotta a „tőle elvárható” figyelmet vagy kö-rültekintést. A gondatlanságból elkövetett cselekmény is bűncselekmény, de csak akkor, ha a törvény a gondatlan elkövetést is büntetni rendeli. Nincs minden bűncselekménynek gondat-lan alakzata. A törvény a gondatlan elkövetést mindig enyhébben bünteti, mint a szándékost. … De ez már más kérdés.

Ezek szerint nincs véletlen? Vajon így vélekednek más tudományterületek is?

A filozófus, de a matematika és a fizika kérdéseivel is foglalkozó, XVII. században élt Benedictus (Baruch) Spinoza így írt az Etika c. művében „… lehetetlennek [mondunk- S.P.] egy dolgot; tudniillik vagy, mert lényege, azaz definíciója ellentmondást tartalmaz, vagy, mert nincs semmiféle külső ok, amely ily dolog létrehozására volna determinálva. Esetlegesnek azonban csupáncsak ismeretünk hiá¬nyosságára való tekintettel mondunk egy dolgot. Mert az olyan dolgot, amelyről nem tudjuk, hogy lényege ellentmondást tartal¬maz-e, vagy amelyről biztosan tudjuk ugyan, hogy nem tartalmaz ellentmondást, de létezéséről mégsem állíthatunk semmi bizonyo¬sat, mert az okok rendje rejtve van előttünk: az ilyen dolgot sohasem tekinthetjük sem szükségszerűnek, sem lehetetlennek, s ezért vagy esetlegesnek, vagy lehetségesnek nevezzük.” (Spinoza: Etika. 33. tétel)

Hasonlóan vélekedik a Széchenyi-nagydíjas és Wolf-díjas magyar matematikus, egyetemi tanár, akadémikus Lovász László is, aki azt írja: „A véletlen a modern tudomány egyik sarka-latos fogalma. Szinte minden tudomány lépten-nyomon használ olyan modelleket, melyekben a jelenségek véletlen, statisztikus jellege dominál. … A valóságban (talán a kvantumfizikát le-számítva) csupa olyan "véletlen" jelenséggel találkozunk, melyek igazából nem véletlenek, csak megjósolásukhoz nem áll rendelkezésre elegendő adat és idő.” (Lovász László: Mit kívánnak a számítógépek a matematikától és mit adnak neki?, Mindentudás Egyeteme)

Ez tehát azt jelenti, hogy a véletlen nem más, mint egy olyan jelenség, amelyet nem tudunk előre jelezni, de csak azért, mert az információ és az idő korlátot jelent ebben. Így ezek nem is „igazi véletlenek”.

A természet- és a társadalomtudományok gyakran használnak olyan modelleket, melyekben a jelenségek véletlen, statisztikus jellege dominál. Ezekben az esetekben is csak arról lehet szó, hogy olyan eseményeket vizsgálnak, amelyek valójában nem véletlenek, csak nem látjuk, nem láthatjuk előre őket.

Vajon milyen szerepe van a véletlennek létünkben, a valóságban? Mennyire határozza meg a véletlen életünket, világunkat?

Mérő László, matematikus, pszichológus a következőket állítja: „A természet a véletlen me-chanizmusára épül. Épül egyrészt mondjuk az elektronnak a bizonytalanságára, és másrészt, egy másik szinten épülhet az öröklődésnek a bizonytalanságára. Lehet, hogy ugyanez az elv vezérli azt is, és emiatt nem tudjuk és nem is akarjuk megmondani, hogy mondjuk a két szülő génállománya hogyan kombinálódik össze egy új lénnyé.” (Ezredvégi beszélgetés Mérő László matematikussal)

Mit mond erre az elméleti biológus, Oborny Beáta? „Érdekes belegondolni, hogy a véletlen tulajdonképpen szorosan behatárolt jelenség: minden egyedi eset egy jól meghatározott elosz-lásból kerül ki, ezért is kedveli a statisztika annyira a véletlent mint referenciát. A véletlennel éppen ellentétes eset a tökéletesen szabályos.” (Oborny Beáta: Véletlen és szabály avagy ho-gyan játsszunk egy hangyabollyal?, Beszélő)

Úgy tűnik, kezd kitisztulni a kép a véletlen fogalmával kapcsolatban! Ám mielőtt nyugodtab-ban hátradőlhetnénk kellemes székünkben, térjünk vissza a társadalomtudományokhoz, pon-tosabban a pszichológiához!

Idézek egy kicsit hosszabban Paulinyi Tamás író, parapszichológus tollából: „Vannak … olyan események, amelyeket a természettudományok nemhogy megmagyarázni, de elhelyezni sem igazán képesek világszemléletükben, ezek pedig a parapszichológia hatáskörébe sorolhatók. A jelenkori tudományos parapszichológia kísérleti eredményei tényként tárják elénk az érzékszerveken túli észleléseket (telepátia, távolbalátás, jövőérzékelés), illetve azt, hogy tudatunk közvetlenül, vagyis az ismert fizikai közvetítők működése nélkül képes hatni anyagi rendszerek állapotára, folyamataira (tárgymozgatás, véletlenbefolyásolás). Bár az említett képességek létezése világképformáló tényező, a valóság megfigyelhető jelenségei között még ezeknél is megdöbbentőbb módon megnyilvánulókra bukkanhatunk. A misztikusan különös "véletlen" egybeeséseket – C. G. Jung svájci pszichiáter fogalmával – szinkronicitásnak nevezzük. … A megfigyelő elvárásai – mint ezt a parapszichológia is bizonyítja – befolyásolja a megfigyelt esemény kimenetét. Bármilyen furcsa a szinronisztikus események középponti rendezőjét – úgy tűnik – a tudatosságban kell keresnünk. Ebben a megközelítésben azonban újabb komoly problémával találkozhatunk, az egyéni és a kollektív tudatosság, illetve az anyagi folyamatok és a tudati folyamatok kibogozhatatlannak tűnő viszonyaival. Ha ugyanis jobban megfigyeljük a szinkronicitásjelenségeket, legtöbbjük elemei csupán egyetlen megfigyelő (a MEGFIGYELŐ) számára rendeződnek valódi egybeeséssorozattá. … A szinkronicitás jelenségek zömében az elemek között gondolati tartalmak is szerepelnek, vagyis az eseménysorozat egymást vonzó tagjait nem lehet fizikai formák vagy állapotok affinitásával magyarázni. Akárhonnan is közelítjük meg a kérdést, a szinkronicitás jelensége sokkal inkább egy álomállapothoz hasonló flexibilitású tudati valóság, mint egy konkrét anyagi rendszerekből álló fizikai törvények által determinált materiális valóság létét sejteti. .. A szinkronicitás egyfajta holografikus módon képes pszichés életünket a valóság legkülönfélébb rétegeiben visszatükrözni. Ez részben sorsunk, pszichés mélyrétegeink megismerését segítheti, másrészt, ennek szellemében a valóságteremtés öntudatlan mágiáját egy magasabb tudatossági fokra emelheti.” (Paulinyi Tamás: A Szinkronicitás, 2003.)

Azt hiszem érdekes gondolatok ezek. Sőt, zavarba ejtőek. Miért is? Mert azt állítja, a véletlen a tudatban megjelenő, visszatükröződő, az adott személy által mintegy önkéntelenül várt és befolyásolt esemény. Ez lényegesen eltér a természettudományi definícióktól. De talán köze-lebb van a jogban használt kategóriától.

Több tanulságot is sikerült megfogalmaznunk a véletlen jelenségének „tudományos” körbejá-rásáról. Egyrészt megállapíthatjuk, hogy valóban nem könnyű definiálni egy olyan sokszor használt és egyértelműnek tűnő fogalmat, mint a véletlen. Másrészt nem ugyanaz a tartalma a racionálisnak tekinthető természettudományokban, mint a társadalomtudományokban.

Végül is így lesz igaza mindenkinek. Azaz annak is igaza van, aki szerint véletlenről csak azért beszélhetünk, mert az adatok és az idő korlátot jelentenek minden lehetőség előrelátásához. És annak is igaza van, aki azt állítja, a véletlen a tudatban megjelenő különleges állapot.

Maradjunk annyiban: nincs abszolút véletlen, és nincs a véletlennek egyértelmű definíciója sem. Így tehát mindenképpen csak egyet állíthatunk: a véletlen relatív kategória.



2010. november 9.

Közgazdászokat is köszönthetünk "köreink"-ben

Nagy örömünkre, matematika oktatókon kívül közgazdász kollégák is csatlakoztak hozzánk. Ezentúl Lipécz Gyurin kívül Sárkány Péter is a gazdmatek blog-írok lelkes csapatát gyarapítja. Szeretettel köszöntünk! :)

Kedves Olvasó, amennyiben Te is szívesen részt vennél a blog írásában, kérem írjál részemre, hogy küldhessek meghívót.

Jó játék a matematika

A következő ötleteléssel szeretném megköszönni a blog indítását, Mártinak a "Beszélgessünk közös dolgainkról" találkozó megszervezését, nektek a részvételt, a figyelmet, az együtt gondolkodást.

Szeretném, ha Tatabányán egy jövőbeli „Kutatók éjszakáján” régen dédelgetett „álmomból” egy matematikai játszóházban ébrednék. Ha azt mondjátok, ne álmodozzam tovább róla, akkor nincs más választásom, fel kell ébrednem és hozzá kell látnom a megvalósításhoz!

Matematika a játékban, játék a matematikában
1) Rubik kocka és a forgáscsoportok. Mi is az absztrakció az absztrakt algebrában?
2) Logikai játékok, logikai egypercesek, logikai rejtvények
3) SET kártyajáték. A játékhoz kapcsolódó kombinatorikai feladványok
4) Kártyajátékok, nyerési esélyek. A valószínűségszámítás klasszikus képlete
5) Szerencsejátékok, nyerési esélyek. A szerencsejátékok és a valószínűségszámítás egymásra gyakorolt hatása a matematika történetében
6) Stratégiai játékok, kevert stratégiák
7) Geomag mágneses építőjáték (Magnetic world). Szabályos testek, Euler poliéder tétele
8) Ruletták. Modellezés, animáció MAPLE-ben, ruletták rajzolása kézzel. Szerkesztések geometriai szoftverekkel.
9) Óraaritmetika és a kongruenciák
10) Nyomozzunk együtt! Predikátumlogika és a szillogizmusok
11) Logikai áramkörök építése, kétváltozós logikai műveletek, diszjunktív és konjunktív normálformák
12) Matematika a sakktáblán

És hol van még a topológia, a gráfelmélet, stb., a képzőművészet és kedvenc paradoxonjaim? Minden cím mögött a matematika egy-egy olyan diszciplínája áll, amiről a középiskolában még említés sem esik. Akik úgy gondolják, hogy nekik a játszás nem elég tudományos egy ilyen rendezvényhez, ők kaphatnák a kőkemény matematikát is hozzá.

20 mozdulatnál nem kell több...

Megoldották a több mint 30 éve kitűzött feladványt. Bebizonyították, hogy legfeljebb 20 mozdulattal bármelyik állásból kirakható a Rubik kocka.

Morley Davidson, a Kenti Állami Egyetem matematika professzora és csapata bebizonyította, hogy 20 lépésnél többre soha nincs szükség, ha egy kockát ki szeretnénk rakni. (http://www.cube20.org/)

A bizonyítás nem volt egyszerű. Több matematikus és mérnök dolgozott a projekten. Mivel az összes lehetséges kezdőállás 43 trillió (43.000.000.000.000.000.000), ezért a kutatók 2,2 milliárd csoportba osztották a lehetséges kezdőállásokat.

Hamar rájöttek, hogy nem fognak boldogulni ekkora kombinációval. Ekkor jött segítségként a Google. Felajánlotta számítógépeit 35 számítógép-év kapacitás erejéig. (1 számítógép-év: 1GFlop sebességű gép egy évig történő célzott működését jelenti.)

Ez az erőforrás már elegendőnek bizonyult, hogy megszülessen a bizonyítás.

(http://www.itbusiness.hu/publicisztika/Zimanyi_Istvan/Rubik_vs_IT.html)

A 43 trillió kezdőállás között a húsz lépéses kezdőállás kb. 300 millió van, ami ritkának mondható. A leggyakoribb a 18 lépéses kezdőállás, ezt követi a 17-es.

Distance	Count of Positions
0	1
1	18
2	243
3	3,240
4	43,239
5	574,908
6	7,618,438
7	100,803,036
8	1,332,343,288
9	17,596,479,795
10	232,248,063,316
11	3,063,288,809,012
12	40,374,425,656,248
13	531,653,418,284,628
14	6,989,320,578,825,358
15	91,365,146,187,124,313
16	about 1,100,000,000,000,000,000
17	about 12,000,000,000,000,000,000
18	about 29,000,000,000,000,000,000
19	about 1,500,000,000,000,000,000
20	about 300,000,000

Egy kis visszatekintés:

A Rubik-kockát Rubik Ernő találta fel 1974-ben.

Többször az év játékának választották itthoni és külföldi kiállításokon. A világ legjobban fogyó játékának tartják, több mint 350 milliót adtak már el belőle.

Minden évben versenyeket rendeznek leggyorsabbat keresve. A Guinness Rekordok könyve 1981. március 13-án, Münchenben tartotta az első ilyen versenyt, akkor még 38 másodperc alatt rakták ki a kockát. Az első világbajnokságot Budapesten rendezték 1982. június 5-én, itt egy vietnami diák, Mihn Thai nyert 22,95 másodperces idejével. A világrekordot Erik Akkersdijk tartja, aki 2008-ban 7,08 másodperc alatt oldotta meg a feladatot. (http://index.hu/tudomany/2010/08/12/rubik/)

Azt mostmár biztosan mondhatjuk, hogy 20 mozdulatnál nem kell több a kocka kirakásához, na de melyek ezek a mozdulatok? :) :) :)